【定积分和不定积分的公式】在微积分的学习中，定积分与不定积分是两个非常重要的概念。它们分别用于计算函数的面积以及求原函数。下面将对常见的定积分和不定积分的公式进行总结，并以表格形式展示，帮助读者更清晰地理解两者的区别与联系。
一、不定积分公式
不定积分是求导的逆运算，即已知导数，求原函数。其结果是一个包含任意常数的表达式。
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、定积分公式
定积分是在某个区间上对函数进行积分，得到的是一个具体的数值，表示曲线下的面积或某种累积量。
基本性质：
- $ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $，其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
- $ \int_a^a f(x)\,dx = 0 $
- $ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx $
常见定积分公式：
| 函数 $ f(x) $ | 定积分 $ \int_a^b f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln\left | \frac{b}{a}\right | $ |
| $ e^x $ | $ e^b - e^a $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos b + \cos a $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin b - \sin a $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan b - \tan a $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot b + \cot a $ |
三、总结
定积分与不定积分虽然名称相似，但本质上有所不同：
- 不定积分是求原函数，结果包含任意常数；
- 定积分是求在某一区间上的面积，结果是一个确定的数值。
掌握这些基本公式有助于解决实际问题，如物理中的位移、速度、加速度关系，或者几何中的面积、体积计算等。
通过表格的形式，可以更直观地对比两者在公式上的异同，便于记忆和应用。