【二项分布超几何分布的均值和方差公式是什么】在概率论与数理统计中，二项分布和超几何分布是两种常见的离散型概率分布。它们都用于描述成功或失败事件发生的次数，但适用的条件有所不同。下面将对这两种分布的均值和方差进行总结，并以表格形式展示。
一、二项分布
定义：二项分布描述的是在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，出现k次成功的概率分布。
- 参数：
- n：试验次数
- p：每次试验的成功概率
- 均值（期望）：
$$
\mu = np
$$
- 方差：
$$
\sigma^2 = np(1-p)
$$
二、超几何分布
定义：超几何分布描述的是在有限总体中不放回抽样时，某类元素被抽中的次数的概率分布。
- 参数：
- N：总体数量
- K：总体中具有某种特征的个体数量
- n：抽取的样本数量
- 均值（期望）：
$$
\mu = n \cdot \frac{K}{N}
$$
- 方差：
$$
\sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
注意：超几何分布的方差中多了一个“有限总体校正因子” $\frac{N - n}{N - 1}$，这是由于抽样时不放回造成的。
三、对比总结
| 分布类型 | 均值（期望） | 方差 |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 超几何分布 | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot (1 - \frac{K}{N}) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
四、小结
二项分布适用于有放回抽样的情况，而超几何分布适用于无放回抽样。两者在均值上的计算方式相似，但在方差上存在差异，超几何分布的方差会因为抽样不放回而有所减小。理解这些区别有助于在实际问题中选择合适的概率模型。