【傅立叶变换公式】傅立叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要数学工具，广泛应用于信号处理、图像分析、通信系统等领域。它能够将一个复杂的时域信号分解为多个不同频率的正弦和余弦波，从而更直观地理解信号的组成。
一、傅立叶变换的基本概念
傅立叶变换的核心思想是：任何满足一定条件的函数（或信号）都可以表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。这种表示方式被称为傅立叶级数，而当信号是连续且非周期性的时，就使用傅立叶变换来描述其频域特性。
二、傅立叶变换的公式
傅立叶变换的数学表达式如下：
连续时间傅立叶变换（CTFT）
设 $ x(t) $ 是一个连续时间信号，则其傅立叶变换 $ X(f) $ 定义为：
$$
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt
$$
其中：
- $ f $ 是频率变量，单位为赫兹（Hz）
- $ j $ 是虚数单位
- $ e^{-j2\pi ft} $ 是复指数函数，表示旋转的复数
傅立叶逆变换
为了从频域恢复时域信号，使用傅立叶逆变换：
$$
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df
$$
三、傅立叶变换的特点与应用
傅立叶变换具有以下特点：
| 特点 | 说明 |
| 频域分析 | 将信号分解为不同频率成分，便于分析信号的频率结构 |
| 线性性质 | 满足线性叠加原理，适合处理多个信号的组合 |
| 时移性质 | 时域信号的平移会改变频域相位，但不改变幅度 |
| 频移性质 | 频域信号的平移对应于时域乘以复指数函数 |
| 卷积定理 | 时域卷积等于频域乘积，简化计算 |
四、常见信号的傅立叶变换表
| 信号 $ x(t) $ | 傅立叶变换 $ X(f) $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ |
| $ 1 $ | $ \delta(f) $ |
| $ e^{-at}u(t) $ (a > 0) | $ \frac{1}{a + j2\pi f} $ |
| $ \cos(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $ |
| $ \sin(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2j}[\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)] $ |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}(f) $ |
> 注：$ u(t) $ 是单位阶跃函数，$ \text{rect}(t) $ 是矩形脉冲函数，$ \text{sinc}(f) = \frac{\sin(\pi f)}{\pi f} $
五、总结
傅立叶变换是现代工程与科学中不可或缺的工具，它提供了一种从频域角度理解信号的方法。通过傅立叶变换，我们可以将复杂的时间信号转化为简单的频率成分，从而更容易进行滤波、压缩、分析等操作。
掌握傅立叶变换的公式及其特性，有助于深入理解信号处理中的各种现象，并为后续学习如快速傅立叶变换（FFT）、离散傅立叶变换（DFT）等打下坚实基础。