【分式不等式的解法】分式不等式是含有分式的不等式，通常形式为 $\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ 或 $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$ 等。解这类不等式时，需要考虑分子和分母的符号变化，以及分母不能为零的限制条件。以下是分式不等式的常见解法步骤和注意事项。
一、基本思路
1. 移项整理：将所有项移到不等式的一边，使另一边为0。
2. 通分合并：如果分母不同，先进行通分，将不等式转化为一个分式。
3. 确定临界点：找出分子和分母为零的点，这些点称为临界点。
4. 区间划分：用临界点将数轴分成若干个区间。
5. 符号分析：在每个区间内判断分式的正负。
6. 结合定义域：注意分母不能为零，排除使分母为零的点。
二、解题步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将不等式整理为 $\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ 或 $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$ 的形式 |
| 2 | 找出分子 $A(x)$ 和分母 $B(x)$ 的零点，即 $A(x) = 0$ 和 $B(x) = 0$ 的解 |
| 3 | 将数轴划分为若干区间，以临界点为分界 |
| 4 | 在每个区间中选择一个测试点，代入原不等式判断符号 |
| 5 | 根据不等号方向，确定满足条件的区间 |
| 6 | 排除使分母为零的点，确保定义域合法 |
三、典型例题与解法对比
| 不等式 | 解法步骤 | 解集 |
| $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ | 1. 分子为0时 $x = 1$；分母为0时 $x = -2$ 2. 分成三个区间：$(-\infty, -2)$、$(-2, 1)$、$(1, +\infty)$ 3. 测试点分别取 $-3$、$0$、$2$ 4. 判断符号后得出结果 | $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$ |
| $\frac{2x + 3}{x - 4} < 0$ | 1. 分子为0时 $x = -\frac{3}{2}$；分母为0时 $x = 4$ 2. 分成三个区间：$(-\infty, -\frac{3}{2})$、$(-\frac{3}{2}, 4)$、$(4, +\infty)$ 3. 测试点分别取 $-2$、$0$、$5$ 4. 判断符号后得出结果 | $(-\frac{3}{2}, 4)$ |
| $\frac{x^2 - 4}{x - 1} \geq 0$ | 1. 分子为0时 $x = 2$、$x = -2$；分母为0时 $x = 1$ 2. 分成四个区间：$(-\infty, -2)$、$(-2, 1)$、$(1, 2)$、$(2, +\infty)$ 3. 测试点分别取 $-3$、$0$、$1.5$、$3$ 4. 判断符号后得出结果 | $(-\infty, -2] \cup (1, 2]$ |
四、注意事项
- 分母不能为零，必须排除使分母为零的点。
- 符号变化：分式的符号由分子和分母的乘积决定，需仔细判断。
- 边界值是否包含：根据不等号类型（如“≥”或“≤”）判断是否包含端点。
- 避免直接交叉相乘：除非能确定分母的正负，否则可能导致错误。
通过以上方法，可以系统地解决各类分式不等式问题。掌握这些技巧后，能够更快速、准确地找到不等式的解集。