问范德蒙德行列式计算例子

【范德蒙德行列式计算例子】范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）是线性代数中一种特殊的行列式形式，广泛应用于多项式插值、矩阵理论等领域。其标准形式如下：

$$

V = \begin{vmatrix}

1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\

1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

$$

该行列式的计算结果为：

$$

V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)

$$

即所有不同变量之间的差的乘积。

范德蒙德行列式计算实例总结

以下是一个具体的范德蒙德行列式计算例子，并通过表格展示各步骤及最终结果。

示例：三阶范德蒙德行列式

设 $ x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3 $，则对应的三阶范德蒙德行列式为：

$$

V = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1 & 2 & 4 \\

1 & 3 & 9

\end{vmatrix}

$$

根据公式计算其值：

$$

V = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) = (2 - 1)(3 - 1)(3 - 2) = 1 \times 2 \times 1 = 2

$$

计算过程与结果对比表

结论

通过上述例子可以看出，范德蒙德行列式的计算可以通过直接应用其标准公式完成，而无需进行复杂的行变换或展开计算。这种方法不仅高效，而且适用于任意阶数的范德蒙德行列式，只要变量互不相同即可。

在实际应用中，若变量之间存在重复，则行列式值为零，因为此时存在两行完全相同，行列式必为零。因此，在使用范德蒙德行列式时，需确保所选变量互异。