【多项式除多项式的法则】在代数学习中，多项式除法是基本运算之一，常用于简化表达式、因式分解以及求解方程。多项式除以多项式的过程与整数的除法类似，但需要遵循特定的规则和步骤。以下是对“多项式除多项式的法则”的总结，并通过表格形式清晰展示其核心内容。
一、多项式除法的基本法则
1. 按降幂排列：将被除式和除式都按照某个字母（如x）的降幂排列，若某项缺失则用0补位。
2. 首项相除：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 乘积减法：将商的第一项乘以除式，再从被除式中减去这个乘积，得到新的余式。
4. 重复步骤：将余式作为新的被除式，继续重复上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数为止。
5. 余数处理：若余式不为零，则结果可表示为“商 + 余数/除式”。
二、多项式除法的步骤总结
| 步骤 | 操作说明 | 注意事项 |
| 1 | 将被除式和除式按同一字母的降幂排列 | 若有缺项，需补0保持顺序一致 |
| 2 | 用被除式的首项除以除式的首项，得到商的首项 | 商的次数为被除式次数减去除式次数 |
| 3 | 将商的首项乘以除式，然后从被除式中减去该乘积 | 注意符号变化，避免计算错误 |
| 4 | 将余式作为新的被除式，重复第2~3步 | 直到余式的次数小于除式的次数 |
| 5 | 若余式不为零，则写成“商 + 余数/除式” | 余数不能进一步被除式整除 |
三、示例解析
题目：用 $ x^3 + 2x^2 - x + 5 $ 除以 $ x - 1 $
步骤：
1. 被除式：$ x^3 + 2x^2 - x + 5 $
除式：$ x - 1 $
2. 首项相除：$ \frac{x^3}{x} = x^2 $
乘积：$ x^2(x - 1) = x^3 - x^2 $
3. 减法：
$ (x^3 + 2x^2 - x + 5) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - x + 5 $
4. 新被除式：$ 3x^2 - x + 5 $
首项相除：$ \frac{3x^2}{x} = 3x $
乘积：$ 3x(x - 1) = 3x^2 - 3x $
5. 减法：
$ (3x^2 - x + 5) - (3x^2 - 3x) = 2x + 5 $
6. 新被除式：$ 2x + 5 $
首项相除：$ \frac{2x}{x} = 2 $
乘积：$ 2(x - 1) = 2x - 2 $
7. 减法：
$ (2x + 5) - (2x - 2) = 7 $
最终结果：
商为 $ x^2 + 3x + 2 $，余数为 7
即：
$$
\frac{x^3 + 2x^2 - x + 5}{x - 1} = x^2 + 3x + 2 + \frac{7}{x - 1}
$$
四、注意事项
- 多项式除法的结果可能包含分数或余数。
- 若余数为0，则说明除式是被除式的因式。
- 在实际应用中，多项式除法常用于因式分解和函数简化。
通过以上总结与表格，可以更清晰地理解“多项式除多项式的法则”，并掌握其基本操作流程。