【向量垂直公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。向量的垂直关系可以通过其点积（内积）来判断。如果两个向量的点积为零，则这两个向量互相垂直。本文将总结向量垂直的基本公式及其应用，并以表格形式清晰展示相关知识点。
一、向量垂直的定义
若两个非零向量 a 和 b 满足：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量 互相垂直，记作 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。
二、向量垂直的计算公式
1. 点积公式（二维空间）
设向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2)$，则它们的点积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2
$$
若该值为 0，则两向量垂直。
2. 点积公式（三维空间）
设向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
同样，若结果为 0，则两向量垂直。
三、向量垂直的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 几何图形分析 | 如判断矩形、正方形等图形的边是否垂直 |
| 物理力学 | 在力的分解中，判断不同方向的力是否垂直 |
| 图像处理 | 在图像旋转、坐标变换中判断方向关系 |
| 机器学习 | 在特征空间中判断特征之间的独立性 |
四、向量垂直的判定步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定向量的坐标表示 |
| 2 | 计算两个向量的点积 |
| 3 | 若点积为 0，则两向量垂直；否则不垂直 |
五、示例解析
例 1：
向量 $\mathbf{a} = (3, 4)$，$\mathbf{b} = (-4, 3)$
点积：$3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0$
结论：$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$
例 2：
向量 $\mathbf{c} = (2, 5)$，$\mathbf{d} = (1, 2)$
点积：$2 \times 1 + 5 \times 2 = 2 + 10 = 12$
结论：$\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 不垂直
六、总结
向量垂直的核心在于点积的计算，只要点积为 0，即可判定两向量垂直。这一公式在数学、物理和工程等领域有广泛应用。掌握该公式的使用方法，有助于提高对向量关系的理解和实际问题的解决能力。
| 向量垂直公式 | 说明 |
| 点积公式 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2$（二维） 或 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$（三维） |
| 垂直条件 | 当 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 时，$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$ |
通过以上内容，可以系统地了解向量垂直的相关知识，并灵活应用于实际问题中。