【什么叫半正定矩阵】在数学，尤其是线性代数中，半正定矩阵是一个重要的概念，广泛应用于优化、统计学、机器学习等领域。它描述了一类特殊的对称矩阵，其特征值和二次型具有特定的性质。本文将从定义、性质及应用等方面进行总结，并通过表格形式清晰展示相关内容。
一、定义
半正定矩阵（Positive Semi-Definite Matrix）是指一个对称矩阵 $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $，满足对于所有非零向量 $ x \in \mathbb{R}^n $，都有：
$$
x^T A x \geq 0
$$
也就是说，该矩阵的二次型总是非负的。
二、性质总结
| 属性 | 描述 |
| 对称性 | 半正定矩阵必须是对称矩阵，即 $ A = A^T $ |
| 特征值 | 所有特征值均为非负实数（$ \lambda_i \geq 0 $） |
| 行列式 | 行列式非负（但不一定为正） |
| 主子式 | 所有主子式非负（包括顺序主子式） |
| 二次型 | 对于任意非零向量 $ x $，有 $ x^T A x \geq 0 $ |
| 正定性 | 若所有特征值严格大于零，则称为正定矩阵；若存在零特征值，则为半正定 |
三、与正定矩阵的区别
| 比较项 | 正定矩阵 | 半正定矩阵 |
| 二次型 | $ x^T A x > 0 $（对所有非零 $ x $） | $ x^T A x \geq 0 $（对所有 $ x $） |
| 特征值 | 所有特征值 > 0 | 所有特征值 ≥ 0 |
| 可逆性 | 可逆 | 不一定可逆（可能奇异） |
| 应用场景 | 优化问题中的凸函数 | 用于描述约束条件或协方差矩阵等 |
四、应用场景
1. 优化问题：在凸优化中，目标函数的Hessian矩阵如果是半正定的，说明该函数是凸函数。
2. 统计学：协方差矩阵通常是半正定的，表示变量之间的相关性。
3. 机器学习：支持向量机（SVM）、核方法等算法中常涉及半正定矩阵。
4. 数值分析：在求解线性系统时，半正定矩阵有助于保证算法的稳定性。
五、示例
考虑以下矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
该矩阵是对称的，且其特征值为 $ 3 $ 和 $ 1 $，均为正数，因此是正定矩阵。
再考虑：
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
$$
该矩阵也是对称的，特征值为 $ 1 $ 和 $ 0 $，因此是半正定矩阵。
六、总结
半正定矩阵是一种对称矩阵，其二次型在所有非零向量上都非负。它在数学理论和实际应用中都具有重要意义，尤其是在优化、统计和机器学习领域。理解其性质和区别有助于更深入地掌握线性代数及相关学科的应用。
关键词：半正定矩阵、正定矩阵、二次型、特征值、对称矩阵