【arcsinx的3次方积分是什么】在数学中，求解含有反三角函数的积分问题常常需要使用分部积分法或换元法。其中，对 $ (\arcsin x)^3 $ 进行积分是一个较为复杂的计算过程。本文将总结这一积分的推导方法，并提供一个清晰的表格来展示关键步骤和结果。
一、积分公式总结
我们要求的是以下不定积分：
$$
\int (\arcsin x)^3 \, dx
$$
该积分可以通过分部积分法逐步求解，最终得到的结果如下：
$$
\int (\arcsin x)^3 \, dx = x(\arcsin x)^3 - 3x \arcsin x + 3\sqrt{1 - x^2}(\arcsin x) + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
二、关键步骤总结（表格形式）
| 步骤 | 公式 | 说明 |
| 1 | 设 $ u = (\arcsin x)^3 $, $ dv = dx $ | 使用分部积分法，设 $ u $ 和 $ dv $ |
| 2 | $ du = 3(\arcsin x)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $, $ v = x $ | 求导 $ u $，积分 $ dv $ |
| 3 | $ \int (\arcsin x)^3 dx = x(\arcsin x)^3 - 3 \int x \cdot \frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ | 应用分部积分公式 |
| 4 | 再次使用分部积分法处理剩余积分 | 需要对 $ \int x \cdot \frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ 进行进一步分解 |
| 5 | 最终整理得：$ x(\arcsin x)^3 - 3x \arcsin x + 3\sqrt{1 - x^2}(\arcsin x) + C $ | 得到最终结果 |
三、注意事项
- 在计算过程中，需要用到反三角函数的导数公式：
$$
\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- 积分过程中可能涉及多次分部积分，需注意每一步的变量替换与代数整理。
- 若为定积分，可将上下限代入最终表达式进行计算。
四、结论
$ \int (\arcsin x)^3 dx $ 的结果为：
$$
x(\arcsin x)^3 - 3x \arcsin x + 3\sqrt{1 - x^2}(\arcsin x) + C
$$
此结果可通过分部积分法逐步推导得出，适用于多种数学分析场景。