数学家解决了等角线上的一个古老的几何问题

等角线是空间中通过一个点的线，它们的成对角都相等。在 2D 中描绘正六边形的三个对角线，在 3D 中描绘连接正二十面体相对顶点的六条线。然而，数学家并不限于三个维度。

“在高维度上，事情真的变得很有趣，而且可能性似乎是无限的，”数学助理教授赵宇飞说。

但根据赵和他的麻省理工学院数学家团队的说法，它们并不是无限的，他们试图在高维空间中的线几何上解决这个问题。这是研究人员至少 70 年来一直困惑的问题。

它们的突破决定了可以放置的线的最大可能数量，以便线以相同的给定角度成对分开。赵与一群麻省理工学院的研究人员一起撰写了这篇论文，其中包括本科生姚元和张盛彤，博士。学生 Jonathan Tidor 和博士后 Zilin Jiang。(姚最近开始是麻省理工学院的数学博士生，姜现在是亚利桑那州立大学的教员)。他们的论文将发表在 2022 年 1 月的《数学年鉴》上。

等角线的数学可以使用图论进行编码。该论文为称为谱图理论的数学领域提供了新的见解，该领域为研究网络提供了数学工具。谱图理论催生了计算机科学中的重要算法，例如 Google 用于其搜索引擎的 PageRank 算法。

这种对等角线的新理解对编码和通信具有潜在影响。等角线是“球形代码”的例子，它是信息论中的重要工具，允许不同方通过嘈杂的通信通道相互发送消息，例如在 NASA 与其火星探测器之间发送的消息。

1973 年 PWH Lemmens 和 JJ Seidel 的一篇论文中介绍了研究给定角度的最大等角线数的问题。

普林斯顿大学数学教授 Noga Alon 说：“这是一个美妙的结果，它为极值几何中一个经过充分研究的问题提供了令人惊讶的清晰答案，该问题早在 60 年代就受到了相当多的关注。”

麻省理工学院团队的新工作提供了赵所说的“对这个问题的令人满意的解决方案”。

“当时有一些不错的想法，但后来人们陷入困境近三年，”赵说。几年前，包括苏黎世联邦理工学院 (ETH) 数学教授本尼·苏达科夫 (Benny Sudakov) 在内的一组研究人员取得了一些重要进展。2018 年 2 月，赵主持了苏达科夫对麻省理工学院的访问，当时苏达科夫在组合学研究研讨会上谈到了他在等角线方面的工作。

江受到启发，对工作的等角问题系基于他的前博士的工作 卡内基梅隆大学的顾问 Bukh Boris。姜和赵在 2019 年夏天联手，Tidor、姚和张也加入了。“我想找到一个好的暑期研究项目，我认为这是一个很好的工作，”赵解释说。“我以为我们可能会取得一些不错的进展，但完全解决整个问题绝对超出了我的预期。”

该研究得到了 Alfred P. Sloan 基金会和国家科学基金会的部分支持。姚和张通过数学系本科研究暑期项目(SPUR)参与了研究，Tidor是他们的研究生导师。他们的结果为他们赢得了数学系 Hartley Rogers Jr. 最佳 SPUR 论文奖。

“这是 SPUR 计划最成功的成果之一，”赵说。“长期悬而未决的问题并不是每天都能得到解决。”

解决方案中使用的关键数学工具之一称为谱图理论。谱图论告诉我们如何使用线性代数的工具来理解图和网络。图的“谱”是通过将图变成矩阵并查看其特征值来获得的。

“这就好像你在图表上照射一束强光，然后检查出现的颜色光谱，”赵解释说。“我们发现发射的光谱永远不会太集中在顶部附近。事实证明，这个关于图表光谱的基本事实从未被观察到。”

这项工作给出了谱图论中的一个新定理——有界度图必须具有次线性的第二特征值多重性。证明需要有关与图的光谱巧妙见解光谱的小件的曲线图。

赵说：“证明干净而精美。” “我们一起解决这个问题非常有趣。”

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