平方和公式，即前n个自然数的平方和的公式，通常表示为：

\[ S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \]

这个公式在数学中有着广泛的应用，特别是在数论、组合数学以及计算机科学领域。下面将通过一种常见的方法来推导平方和公式的具体表达式。

推导过程

首先，我们考虑一个已知的公式——等差数列求和公式，即前n项的和为：

\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \]

然后，我们尝试构造一个与平方和有关的序列。注意到：

\[ (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 \]

对上式进行变形，可以得到：

\[ 3k^2 = (k+1)^3 - k^3 - 3k - 1 \]

将k从1到n累加，得：

\[ 3(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2) = [(2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \ldots + ((n+1)^3 - n^3)] - 3(1 + 2 + \ldots + n) - n \]

简化上述等式，可以发现中间项相互抵消，留下：

\[ 3S = (n+1)^3 - 1 - 3\frac{n(n+1)}{2} - n \]

进一步整理可得：

\[ 3S = (n+1)^3 - 1 - \frac{3n(n+1)}{2} - n \]

化简后得到：

\[ 3S = (n+1)^3 - \frac{3n(n+1)}{2} - n - 1 \]

\[ 3S = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - \frac{3n^2 + 3n}{2} - n - 1 \]

\[ 3S = \frac{2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 3n - 2n - 2}{2} \]

\[ 3S = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2} \]

\[ S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

因此，我们得到了平方和公式：

\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

这个公式不仅简洁而且实用，在解决实际问题时非常有用。希望这个推导过程能够帮助你更好地理解平方和公式的由来及其背后的数学逻辑。