【久期和凸性计算公式】在固定收益证券分析中，久期和凸性是衡量债券价格对利率变动敏感性的两个重要指标。久期用于衡量债券价格对利率变化的线性反应，而凸性则用于衡量这种关系的非线性部分，即久期本身随利率变化的程度。以下是对久期和凸性计算公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、久期（Duration）
久期是指债券未来现金流的加权平均时间，权重为各期现金流的现值占总现值的比例。它表示当市场利率发生微小变化时，债券价格的预期变化百分比。
1. 麦考利久期（Macaulay Duration）
$$
\text{Macaulay Duration} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + y)^t}}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流
- $ y $：到期收益率
- $ n $：债券的剩余期限（年数）
2. 修正久期（Modified Duration）
$$
\text{Modified Duration} = \frac{\text{Macaulay Duration}}{1 + \frac{y}{m}}
$$
其中：
- $ m $：每年付息次数（如半年付息一次，则 $ m = 2 $）
3. 久期与价格变动的关系
$$
\Delta P \approx -D \cdot P \cdot \Delta y
$$
其中：
- $ \Delta P $：价格变化
- $ D $：修正久期
- $ P $：当前价格
- $ \Delta y $：利率变化
二、凸性（Convexity）
凸性衡量的是债券价格对利率变动的二阶敏感度，反映了久期随着利率变化而变化的趋势。它能够更准确地预测价格变动，尤其是在利率波动较大的情况下。
1. 凸性计算公式
$$
\text{Convexity} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t(t + 1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t + 2}}}{P}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流
- $ y $：到期收益率
- $ P $：债券当前价格
2. 价格变动的近似公式（包含凸性）
$$
\Delta P \approx -D \cdot P \cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot C \cdot P \cdot (\Delta y)^2
$$
其中：
- $ D $：修正久期
- $ C $：凸性
- $ \Delta y $：利率变化
三、总结表格
| 指标 | 公式 | 说明 |
| 麦考利久期 | $ \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + y)^t}} $ | 衡量债券现金流的加权平均时间 |
| 修正久期 | $ \frac{\text{Macaulay Duration}}{1 + \frac{y}{m}} $ | 考虑付息频率后的久期调整 |
| 久期与价格变动 | $ \Delta P \approx -D \cdot P \cdot \Delta y $ | 利率变动对价格的线性影响 |
| 凸性 | $ \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t(t + 1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t + 2}}}{P} $ | 衡量久期对利率变动的敏感度 |
| 带凸性的价格变动 | $ \Delta P \approx -D \cdot P \cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot C \cdot P \cdot (\Delta y)^2 $ | 更精确的价格变动预测 |
四、应用建议
在实际投资中，投资者应结合久期和凸性来评估债券的利率风险。对于长期债券，其久期和凸性通常较大，因此对利率变化更为敏感。若预期利率上升，可选择久期较低的债券以降低风险；若预期利率下降，可考虑高凸性的债券以获得更大的价格增长潜力。
通过合理使用久期和凸性，投资者可以更有效地管理固定收益资产组合的利率风险。