分数布朗运动模型（分数布朗运动）

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1、几何布朗运动数值的随机改变，但改变方向的概率大小不同。

2、分数布朗运动是指实物粒子的不规则运动。

3、综上，几何布朗运动是布朗运动向其他领域的拓展，而分数布朗运动与布朗运动相近布朗运动的B函数一般指时间内位移，总时间T累计位移就是全部路径的时间内的B求加法几何布朗运动的B函数则是求乘法（乘法得面积，所以定义为几何），取对数之后可以视为求加法。

4、两者就是差一个对数变换。

5、几何布朗运动(GBM)(也叫做指数布朗运动)是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动,[1]alsocalledaWienerprocess.几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。

6、分数布朗运动世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。

7、有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。

8、在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性:在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性;在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。

9、因此被称为1/f族随机过程。

10、BenoitMandelbrot和VanNess提出的分数布朗运动(fractionalBrownianmotion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。

11、分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(BiasedRandomwalk)、分形时间序列(Fractionaltimeserial)、分形维纳过程等。

12、其定义如下:设0

13、H=1/2时，即为标准布朗运动。

14、分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。

15、分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。

16、分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为:分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的;分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动(分形噪声)的分维值alpha等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动(白噪声)的分维值都是2。

17、Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(RescaledRangeAnalysis，R/S分析)。

18、设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:R/S=(aN)H通过对上式取对数，可得:log(R/S)=H(logN十loga)只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。

19、Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度:当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步;当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。

20、当0.5

21、可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。

22、所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。

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